不难发现当 $3\mid m$ 时，一定不存在唯一解。列编号 $\bmod 3=0,1$ 的异或和都等于所有位置的异或和。

注意到对于一个矩形操作 $k$ 次有 $a'_{i,j}=a_{i,j}\oplus a_{i-2^k,j}\oplus a_{i+2^k,j}\oplus a_{i,j+2^k}\oplus a_{i,j-2^k}$。分治做即可。