注意到显然答案为 $\frac{z}{\gcd(x,z)}$。

我们可以进行一个分析：

首先 $y$ 明显是无用的，因为他就是一个平移，不会影响个数。

所以 $y=0$ 的部分分是无用的。

接下来考虑，$x$ 的倍数模 $z$ 的可能性。

当 $x,z$ 互质时，容易得知，他们答案一定是 $z$。

然后任意两个数无疑就是给两个互质的数翻若干倍，因为 $x$ 的倍数 一定是 $\gcd(x,z)$ 的倍数，而 $z$ 也是 $\gcd(x,z)$ 的倍数，所以 $x$ 的倍数模 $z$ 一定也是 $\gcd(x,z)$ 的倍数，而剩下的可以除掉然后就和互质的情况一样了。

想不到太好的证明，就这样吧 可能考虑让AI帮我严谨的证一下。